МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

(популярно)

Презентация в файле PDF

Метод конечных элементов (МКЭ) был разработан более 60 лет назад. В 70-е годы прошлого века было доказано, что решение краевой задачи теории пластичности эквивалентно минимизации функционала полной мощности, что явилось существенным импульсом для разработки применения МКЭ в различных научных и технических областях как в качестве инструмента исследования, так и инструмента проектирования.

Для экспертов-автотехников МКЭ является существенно новым знанием, поэтому доклад посвящен знакомству с МКЭ и технологией его применения для расчетов деформаций пространственных объектов.

Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину, такую, как температура, давление и перемещение, можно аппроксимировать дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей. Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области.

Пусть, например, имеется некоторая зависимость y от x, которую требуется установить. Выбрав на области определения функции (на оси x) некоторое конечное число точек (узлов) будем искать значение функции только в этих узлах. При этом полагаем, что между соседними узлами (или внутри конечного элемента) функция изменяется по линейному или иному закону. Понятно, что если имеется способ найти значения искомой функции в узлах, то искомая функция будет найдена тем точнее, чем больше количество узлов. Платой же за увеличение количества узлов станет только увеличение времени расчета, что до определенных пределов не существенно из-за наличия современной высокопроизводительной вычислительной техники.

Перед рассмотрением МКЭ необходимо договориться о применении известных терминов и ввести новые термины. Так словом «деформация» у экспертов принято обозначать наличие изменения формы ТС – вмятину, изгиб, вытяжку металла и т.п. В механике деформируемого твердого тела (МДТТ) деформация – это компонент тензора деформаций, мера формоизменения тела в точке и ее малой окрестности. Деформация может быть и мерой формоизменения объекта, если он деформирован однородно.

Так, например, если образец длиной L0 получил удлинение на величину L, то его относительная линейная деформация есть =L/L0. Относительные деформации не аддитивны – нельзя суммировать их приращения, полученные за разные интервалы времени. Если образец начальной длиной 10см получил удлинение на 1см, а затем он же, уже длиной 11см, получил удлинение еще на 1см, то 1/10+1/11 не равно 2/10, если рассматривать процесс деформирования от самого начала. Свойством аддитивности обладают истинные (логарифмические, деформации 2-го рода) деформации =ln(1+..). И легко проверить, что для вышеприведенного примера ln(1+1/10)+ln(1+1/11)=ln(1+2/10). Кроме линейных деформаций МДТТ рассматривает и угловые сдвиги, которые так же являются деформациями, и для них с целью суммирования так же вводится определение истинных деформаций.

По нормали и касательной к любой плоскости, проведенной через рассматриваемую точку деформируемого тела действуют нормальные и касательные напряжения (напряжение – сила, отнесенная к единице площади). Совокупность трех нормальных и трех касательных (касательных напряжений шесть, но три пары попарно равны) напряжений образуют тензор второго ранга - тензор напряжений. Данный тензор – это математический объект, который имеет три собственных направления и три собственных значения, которые являются инвариантами тензора. Компоненты тензора при переходе к другой системе координат меняются, но значения инвариантов постоянны. Первый инвариант тензора напряжений пропорционален гидростатическому давлению на точку – действию напряжений равной величины со всех сторон пространства. Результат гидростатического давления – упругое изменение объема материала в точке. Если вычесть из диагональных членов тензора напряжений гидростатическое давление, получаем девиатор напряжений – объект, аналогичный тензору, и выражающий действие напряжений в точке, которые могут вызывать только изменение формы, но не объема. Понятно, что первый инвариант девиатора напряжений всегда равен нулю.

Кинематика деформируемого твердого тела определяется векторным полем перемещений (скоростей) точек. Так как при поступательном движении тела перемещения всех точек одинаковы, деформаций тела не возникает. Поэтому деформации имеют место, когда поле перемещений есть функция координат точек и меняется от точки к точке. Дифференциальные соотношения Коши связывают поле перемещений с компонентами другого тензора – тензора деформаций. Диагональные компоненты тензора деформаций есть линейные относительные деформации в точке вдоль осей координат, а недиагональные компоненты есть угловые сдвиги (угловые деформации). Соответственно, первый инвариант тензора деформаций пропорционален объемной деформации под действием гидростатического давления. После вычитания из диагональных членов тензора деформаций объемной деформации получаем девиатор деформаций – объект, выражающий только изменение формы в точке. Его первый инвариант равен нулю.

Для упругой деформации гидростатического давления и объемной деформации связаны через модуль объемной деформации, являющейся константой материала. Компоненты девиатора напряжений связаны с компонентами девиатора деформаций через модуль сдвига, так же являющимся константой материала.

При пластической деформации вместо модуля сдвига используется переменная меньшая величина, определяющаяся из результатов испытания образца на растяжение. При простом растяжении образца в начальной упругой фазе его деформация пропорциональна действующим в сечении напряжениям. Затем начинается фаза пластического течения материала, в ходе которого напряжение с ростом деформации растет слабо, и его величина называется напряжением течения или пределом текучести. На кривой напряжение–деформация появляется так называемая площадка текучести. Затем начинается фаза деформационного упрочнения материала, и напряжение течения растет с ростом деформации. При исчерпании ресурса пластичности (при накоплении дефектов в материале) при напряжении, называемом пределом прочности (временном сопротивлении разрушению) происходит разрушение образца.

Любое сложное нагружение можно привести к экспериментальной кривой напряжение–деформация используя величины, полученные из вторых инвариантов девиаторов напряжений и деформаций, которые называются интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций. Для случая одноосного растяжения образца напряжение в его сечении и есть интенсивность напряжений, а деформация – интенсивность деформаций. Для целей судебной экспертизы фазу упрочнения материала можно не учитывать, а использовать идеальную упруго-пластическую реологическую модель материала. Это дает массу преимуществ и, в частности, независимость расчетной затраченной энергии от последовательности деформирования объекта в условиях монотонного или близкого к нему деформирования, и гарантированную возможную наименьшую расчетную величину затрат энергии на деформацию.

Технология расчета МКЭ следующая.

  1. Разделяем объект на конечные элементы.

  2. Полагаем, что соседние элементы связаны между собой в общих узлах, перемещения которых и есть неизвестные задачи.

  3. Выбираем полиномы, аппроксимирующие поле перемещений внутри каждого конечного элемента так, чтобы перемещение любой точки внутри элемента определялось через перемещения узлов и выполнялось условие неразрывности на границах элементов.

  4. Поле перемещений в каждом конечном элементе через соотношения Коши определяет поле деформаций, поле деформаций определяет поле напряжений, а их интеграл их произведения по объему конечного элемента – энергию деформации. Т.о. энергия деформации всего объекта является суммой энергий деформации каждого конечного элемента объекта и может быть выражена через перемещения узлов сетки конечных элементов.

  5. Определяем граничные условия – внешние силы, действующие на узлы, находящиеся на свободной поверхности, или перемещения узлов, контактирующих с иным объектом, или и то и другое. Тем самым вносим в выражение для энергии деформации изменения или связи между перемещениями узлов.

  6. Теперь полная энергия объекта есть функция от перемещений узлов сетки конечных элементов с учетом граничных условий. Среди кинематических возможных перемещений узлов истинными будут те перемещения, которые обеспечивают минимум этой полной энергии. Дифференцированием выражения для полной энергии по каждой неизвестной (по каждой компоненте перемещений каждого узла) и приравниванием частной производной нулю получаем систему линейных уравнений, из решения которой находим перемещения узлов.

  7. Для каждого конечного элемента вычисляем компоненты тензоров и девиаторов напряжений и деформаций, проверяем условие попадания точки интенсивность напряжений – интенсивность деформаций на экспериментальную (или упрощенную до идеальной упруго-пластической модели) кривую напряжение–деформация. Если обнаружен выход за пределы кривой, для этого конечного элемента корректируется значение модуля сдвига, и повторяем расчет. Для каждого узла на наружной поверхности проверяем условие контакта, и, если обнаружено несоответствие, граничные условия корректируются, и расчет повторяется.

При этом деформирование объекта происходит небольшими шагами (порциями), и число шагов может быть достаточно большим.

Кроме алгоритмических аспектов организации итерационной процедуры построения и решения системы уравнений с целью преодоления физической нелинейности задачи приходится принимать специальные меры для хранения коэффициентов системы уравнений – матрицы жесткости, имеющей большую размерность. Такие эффективные индексные схемы хранения, позволяющие хранить только ненулевые элементы, разработаны и апробированы, и их использование существенно сокращает время работы компьютера.

Примером простой экспертной задачи, связанной с расчетом деформации, является задача расчета деформации консервной банки и установлением, с какой высоты на нее упал молоток. Пример показывает высокую точность метода и реалистичность результата расчета. Комплексно и всесторонне апробация использования МКЭ как для моделирования движения ТС, так и их удара, произведена лабораториями США, о чем имеется многочисленная научная литература. Ряд краш-тестов исследован нами в Институте механики. Полученные результаты дают полное основание утверждать, что в настоящее время по точности результатов и широте возможностей экспертного исследования альтернативы МКЭ пока нет.

Многочисленные научные данные показывают, что неполнота конечно-элементной модели ТС и не учет элементов конструкции ТС, не получивших деформации в результате ДТП, всегда позволяют установить до 80% фактической величины энергии, затраченной на деформацию ТС. Это означает, что с использованием МКЭ расчетная скорость ТС в момент удара может быть установлена с точностью не ниже 90% от его фактической скорости.

Авторами патента США №6195625 «Метод симуляции аварий» Т.Деем и А.Йорком в техническом описании указано, что до появления вычислительных технологий столкновения ТС обычно моделировались с использованием некоторых начальных параметров, и, с применением законов сохранения механики, уравнения решались для установления неизвестных параметров. Появление вычислительных технологий породило новое поколение методов анализа столкновений, с помощью которых ученые и инженеры могут рассмотреть механизм столкновения изнутри, на протяжении множества малых интервалов времени. После задания начальных параметров, таких как размеры, массы, положения на плоскости или в пространстве, скорости сталкивающихся объектов, вычислительная технология в результате дает положение и силы взаимодействия объектов в каждый момент времени столкновения. Вычислительная технология обычно реализуется с помощью метода конечных элементов, для применения которого каждый объект разделяют на большое число конечных элементов, и вычисляют силы, действующие на каждый конечный элемент в ходе столкновения, расход энергии на деформацию и т.д.

Таким образом в мировой практике судебной экспертизы МКЭ-технология экспертного исследования ДТП обещает в скором времени стать ведущей технологией в силу своей точности, категоричности и широких возможностей. При этом возникают две основные научно-методические задачи экспертизы ДТП, которые требуется решать. Первой задачей является прочностная задача, целью которой является перевод объекта исследования (ТС) из начального недеформированного состояния в конечное деформированное состояние по пути с наименьшими затратами энергии. Второй задачей является кинематическая задача взаимного движения ТС в процессе удара, точное решение которой дает возможность установить направление и скорости движения ТС в момент столкновения и в результате столкновения.

Поэтому метод конечных элементов может и должен стать одним из основных инструментов судебного эксперта.

В.Н. Никонов.


   © 2008 г.,  ЦНЭАТ , г. Самара, ссылка на ЦНЭАТ и страницу обязательны (www.cneat.ru)



Главная

Назад